Теория и практика параллельных вычислений
Параллельные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных
Дифференциальные уравнения в частных производных представляют собой широко применяемый математический аппарат при разработке моделей в самых разных областях науки и техники. К сожалению, явное решение этих уравнений в аналитическом виде оказывается возможным только в частных простых случаях, и, как результат, возможность анализа математических моделей, построенных на основе дифференциальных уравнений, обеспечивается при помощи приближенных численных методов решения.
Объем выполняемых при этом вычислений обычно является значительным, и использование высокопроизводительных вычислительных систем традиционно для данной области вычислительной математики.
Проблематика численного решения дифференциальных уравнений в частных производных является областью интенсивных исследований.
Рассмотрим в качестве учебного примера проблему численного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона, которая определяется как задача нахождения функции u=u(x,y), удовлетворяющей в области определения D уравнению
и принимающей значения g(x,y) на границе D0 области D (f и g являются функциями, задаваемыми при постановке задачи). Подобная модель может применяться для описания установившегося течения жидкости, стационарных тепловых полей, процессов теплопередачи с внутренними источниками тепла и деформации упругих пластин. Данный пример часто используется в качестве учебно-практической задачи при изложении возможных способов организации эффективных параллельных вычислений (см. [[12], [60]]).
Для простоты изложения материала в качестве области задания D функции u(x,y) далее будет использоваться единичный квадрат
D={(x,y)D:0x,y1}
